Rhythmus

Ich werde diesen Blog ab jetzt alle 2 Wochen schreiben…

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Fahrenheit or Celsius

Deutsch

Fahrenheit is such an odd American unit like square foot, pound or gallon. Or even worse: cubic foot, who has three feet? Nobody needs this crap any more and we should all switch to the metric system. Habits take a generation or two for this, but it will come… So now it is the metric system we should all strive for and of course Celsius degrees instead of Fahrenheit. Physics classes become a lot easier… Freezing of water at 0°C, boiling at 100°C. And the intermediate range is divided evenly and the scale is extrapolated to the top and the bottom. Quite simple, right?

Unfortunately not quite true. We have indeed introduced the metric system in most industrialized countries in many areas, but the temperatures have actually been excluded. The metric unit for temperature is Kelvin (K) and not °C. The next question is what an even subdivision of the temperature scale really means. Ok, the lines on the thermometer should have equal distances, but what liquid are we using for the thermometer?
What is the melting point and boiling point of water? Even slight quantities of dissolved substances and the air pressure have quite significant influence on them. But this can all be described and the temperature scale is precise enough for practical purposes. But the real thing is Kelvin (K).

If we are not using the metric system for temperatures anyway, we should ask, why. Everybody knows it: The Kelvin temperatures are clumsy and unintuitive. To some extent it is also just a matter of habit.

Most measurement units that we encounter in our daily life are used in a wide range of magnitudes. Lengths can be millimeters and thousands of kilometers, which is all really part of our daily life, not just some lab stuff. Times can be seconds and years. Masses can be milligrams and tons. When talking about temperatures we like to know the temperature of water and air and how it feels, most of the time. The melting point of aluminum is by itself interesting and maybe even useful to know when doing a chemistry or physics exam, but for most of us it is not really part of our daily life.

But for the feeling of temperatures and mapping of the relevant range the Fahrenheit scale is almost perfect:

  • A temperature difference of 1°C feels quite significant, but 0.1°C seem like exaggeration. 1°F might be a perfect step
  • The freezing point of water can be of some interest, for example in order to know if it is possible to go swimming in a lake or if icy highways can be expected. But some other temperatures need to be considered interesting: Down to about 0°F it is still quite ok with moderate clothing to move around outside. For much lower temperatures serious equipment is needed or it is good to keep the time outside really very short.
  • Our body temperature is near 100°F and temperatures up to this seem to be quite warm, but still bearable for a longer period of time for most of us. If it is warmer than that, it really gets way too hot for most of us. This is especially true for water temperatures.

It is unlikely that a switch from Celsius to Fahrenheit will ever happen in any country. But from all these non-metric unit Fahrenheit is the one that I consider most reasonable, much better than Celsius.

When working with temperatures in scientific context, especially in physical chemistry, the advantages of going all the way for metric units show up. Many formulas become much simpler when using Kelvin, not so much because of the scaling factor and more because of the fact that this ugly summand can be eliminated.

So the theoretical max of the efficiency of a temperature powered engine is \frac{T_1-T_2}{T_1} or the ideal gas formula is p \cdot v_m = R_m \cdot T (intensive form) or p \cdot V = n \cdot R_m \cdot T (extensive form). The intensive form abstracts from the quantity by using the volume per mol instead of the volume. Actually I prefer that, because the extensive forms imply an integration over the volume and a homogeneity, while intensive quantities describe matter at one point or a small vicinity of one point, as long as we can still abstract from the granularity due to the molecules and atoms. Measurements like temperature and pressure start to make sense with certain large number of molecules. Or what is the pressure or temperature of a single molecule?

For conversions between Fahrenheit, Celsius and Kelvin the following special values can help:

  • -40^{\rm o}{\rm C} = -40^{\rm o}{\rm F}
  • 0^{\rm o}{\rm F} = -17\frac{7}{9}^{\rm o}{\rm C}
  • 0^{\rm o}{\rm C} = 32^{\rm o}{\rm F}
  • 10^{\rm o}{\rm C} = 50^{\rm o}{\rm F}
  • 20^{\rm o}{\rm C} = 68^{\rm o}{\rm F}
  • 30^{\rm o}{\rm C} = 86^{\rm o}{\rm F}
  • 100^{\rm o}{\rm F} = 37\frac{7}{9}^{\rm o}{\rm C}
  • 100^{\rm o}{\rm C} = 212^{\rm o}{\rm F}

From these the conversion formulas can be deduced, but they are not so hard either:

  • k = \frac{5}{9}(f+ 459.67)
  • f = \frac{9}{5}k - 459.67
  • k = c + 273.15
  • c = k - 273.15
  • f = \frac{9}{5}c+32
  • c = \frac{5}{9}(f - 32)

k, f and c are the temperatures in K, °C and °F, respectively.

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Bahnverkehr in Zürich

Für eine Stadt mit etwas 400’000 Einwohnern hat Zürich einen recht großen Hauptbahnhof, der übrigens als einziger in der Schweiz regelmäßig so genannt wird. In Winterthur heißt nur die Bushaltestelle davor „Hauptbahnhof“, der Bahnhof heißt einfach „Winterthur“.

Es gibt 16 Kopfgleise nebeneinander mit den Gleisnummern 3 bis 18. So kennt man diese Zahlen auch auf italienisch, weil gelegentlich mehrsprachige Ansagen für Züge verwendet wurden, die ins Tessin oder nach Italien fahren. In den späten 80er-Jahren ist ein S-Bahn-Tunnel unter dem Hauptbahnhof mit weiteren vier Gleisen im Norden eröffnet worden, die heute die Nummern 41-44 haben. Dieser Bahnhofsteil feiert 2014 etwa in dieser Zeit sein 25-jähriges Jubiläum. 1986 konnte man bereits sehen, dass der neue S-Bahn-Tunnel in Bau war und es stand dort ein Schild, dass auf eine entsprechende Volksabstimmung zur Bewilligung der Gelder verwies.

Zwischen den Gleisen an der Oberfläche und den unterirdischen Gleisen fließt der Fluss Sihl hindurch. Weitere zwei unterirdische Gleise (21 und 22) enden im Süden und führen für die S-Bahn auf den Üetliberg und durch das Sihltal. Auf dem ersten Kilometer verläuft diese Strecke unterhalb der Sihl oder untirdisch daneben, bevor sie an die Oberfläche kommt und an die schon viel früher vorhandenen Streckenabschnitte anknüpft, die man früher vom Hauptbahnhof nur mit der Straßenbahn erreichen konnte. Nun waren diese 24 Gleise nicht ausreichend und man wollte die Zufahrtsstrecken auch erweitern. So fügte man vier kürzere, leicht zurückgesetzte Gleise 51-54 im Süden an (Sihlpost) und erweiterte auch die Brücken für die Zufahrt im Gleisfeld aus Oerlikon im Norden, nicht aber die eigentliche Strecke. Da war der Widerstand groß und es stellte sich als günstigere Lösung heraus einen dritten zweigleisigen Tunnel in S-Form zu bauen, der unter dem Hauptbahnhof hindurch nach Osten führt und dann in einer Kurve nach Nordwesten zum Stadtteilbahnhof Oerlikon. Dazu gibt es dann unterirdisch die neuen Gleise 31-34. Gleichzeitig werden weitere unterirdische Passagen erstellt oder vorhandene erweitert.

Die Sihlpostgleise 51-54 gelten nur als Provisorium, bis die unterirdische Erweiterung fertig ist, es soll also bei 28 Gleisen bleiben. Die unmittelbaren Zufahrtsstrecken sind nun vier Gleise nach Thalwil im Süden (und weiter nach Graubünden oder zum Gotthardtunnel), sehr viele Gleise und Gleisanlagen nach Altstetten im Westen und von dort vier Gleise weiter nach Westen und zwei nach Süden, mit dem Weinbergtunnel sechs Gleise nach Oerlikon, wo es sich aufteilt in drei verschiedene Strecken nach Winterthur, eine nach Bülach und Schaffhausen und eine weitere, die nach Westen führt. Nach Osten führt ein zweigleisiger Tunnel, der sich wiederum aufteilt in Strecken nach Winterthur, zum nördlichen Zürichseeufer und in das östlich gelegene Gebiet dazwischen.

Grundsätzlich sind die S-Bahnen überwiegend im Mischverkehr mit anderen Zügen geführt und es gibt nur wenige Gleise, die fast ausschließlich von S-Bahnen benutzt werden.

Der Weinbergtunnel soll im Sommer 2014 eröffnet werden.

Außer dem Hauptbahnhof gibt es in Zürich noch einige andere wichtige Bahnhöfe. Zürich-Flughafen liegt schon in der Nachbargemeinde Kloten. Aber Oerlikon, Hardbrücke, Tiefenbrunnen, Stettbach, Wiedikon, Wollishofen, Enge und Altstetten sind relativ wichtige Bahnhöfe außer dem Hauptbahnhof, außerdem gibt es noch einige andere. Die Bahn, vor allem in Form der S-Bahn, ist also ein duchaus brauchbares innerstädtisches Verkehrsmittel, obwohl fast überall parallel dazu auch Straßenbahnen zur Verfügung stehen, seit ein paar Jahren sogar auf einer Linie bis zum Flughafen.

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Rail Projects in Northern Scandinavia

Deutsch

The European region north of the arctic circle in Finland, Norway and Sweden is often called „Cap of the North“ („Nordkalotten“ in Danish, Norwegian and Swedish, or „Pohjoiskalotti“ in Finnish). That area is thinly populated, but there are some towns with a few 10’000 inhabitants and a more densely populated area in their vicinity, like Tromsø, Narvik, Alta, Harstad and Kiruna. I don’t want to take the arctic circle as a hard boundary, but rather write about rail projects in the north of these three countries, at least those I have heard of. Railroad construction in this area is mainly motivated by freight traffic. The Iron Ore Line from Narvik to Kiruna has been built to access the huge iron ore deposits in northern Sweden, mostly Kiruna. Now northern Sweden contains further iron ore deposits and also in northern Finland a lot of mining, mostly for iron ore, could be possible. Finland has already been called the „new Australia“ because of that. Even northern Norway contains some smaller share of iron ore deposits, mostly in the area of Kirkenes near the Russian border. This mine is the reason for the northernmost railroad in Norway connecting the sea port of Kirkenes with the mine, being just a few kilometers long. Because of declining profitability mine and railroad had already been closed down, but because of increasing demand and increasing prices for iron ore, they have been reopened.

The railroad to Narvik does not have any connection to the remaining Norwegian railroad network via Norway. The Nordland Line is running from Trondheim to Bodø. Bodø is situated pretty much half way through the whole country, between the Swedish border in the south in Svinesund and Grense Jakobselv at the Russian border in the northeast. Since the 1920es plans have existed to build this railroad line, but not only to Bodø, but also the Polar Line to Kirkenes and Vadsø in the northeast. During the second world war the construction of these lines was accelerated, which resulted in parts of the line from Trondheim to Bodø being built, even though the whole line was opened in 1962. North of Fauske and Bodø to Narvik some tunnels, bridges and railroad dams have been built, some which have been incorporated into the highway E6. Today a railroad to Kirkenes and Vadsø can no longer be considered reasonable, because the train would no longer be the only means of transport, since the area has been well equipped with highways, ports and airports. The number of inhabitants is too low to justify daily passenger trains in a situation where other means of transport exist. Even freight traffic is covered well by ships and trucks in this relation. The part of northern Norway north of Tromsø has so little population, that its contribution to air pollution created by Norway is not very significant.

Another question is the extension of the Nordland Line from Fauske to Narvik, Harstad and Tromsø. In this case a railroad from Trondheim to Tromsø with branches to Bodø, Narvik and Harstad could be imagined. This is a project that is discussed in Norway every couple of years, but it does not seem to have priority. Connecting towns and cities with somewhat more significant population this could provide potential for running freight and passenger trains several times per day with an acceptable number of passenger and acceptable amount of freight. A problem is the Tysfjord, which cannot easily be crossed or bypassed. In spite of almost unlimited resources for highway construction it has not been possible to build a ferry free section of the highway E6 between Fauske and Narvik. For a railroad three scenarios could be considered:

  • Ferry Line: The railroad leads to the fjord, probably to Drag, and is trajected by a railroad ferry, going to Narvik and Lødingen. This would allow for integration of Harstad, but the ferry would probably make the rail connection too unattractive to compete with highway, ship and air transport. So this variant will probably no longer be considered, if the line is ever built.
  • Fjord Line: The railroad follows the eastern shore of Tysfjord, with many tunnels.
  • Mountain Line: The railroad runs near the Swedish border across the mountain range, intersecting with the Iron Ore Line from Kiruna to Narvik near Bjørnfjell, this allowing for a branch to Narvik by just providing a connection.

More concrete than this are connections from the coast inland. Finland has lost its ice free port in Petsamo in the Arctic Sea during the second world war. It is no longer such a big deal because ice breakers have become more of an option, allowing even otherwise frozen ports in the Baltic Sea to stay open during the winter. The relationship between Norway and Finland is now good and Norwegian ports can be used by Finish companies. But trucks are not very useful for transporting huge quantities of iron ore. Such plans do exist for accessing a new mine near Pajala in northern Sweden using 90 ton trucks between the mine and the next railroad connection in Svappavara. It has even been authorized. But there are downsides. The highway and the bridges will be used up in as little as five years and the houses near the highway will need triple glass in an area where there were just a few cars per hour. There will be a 90 ton truck every two minutes, day and night. In the long run a railroad might be a better solution. In principle several options exist for connecting the new iron ore mining areas in northern Finland and Sweden with the sea ports that have been discussed recently:

  • Connections to the south via the existing railroad network to the south to Swedish and Finish ports (Kemi, Oulu, Luleå,…)
  • Connections going south or east via the Finish railroad network to Russia.k
  • Construction of a new railroad line from Pajala and northern Finalnd to Skibotn in Norway.
  • Construction of a new railroad line from Pajala and northern Finalnd to Kirkenes in Norway.
  • Construction of a new railroad line from Pajala and northern Finalnd to Svappavara.

It needs to be considered that Finland and Russia are using broad gauge (1520 mm in Russia, 1524 mm in Finland), while Sweden and Norway are using standard auge (1435 mm). While the difference between Russia and Finland is within the tolerance, having to change the track gauge is a hardly acceptable obstacle for freight traffic. The Iron Ore Line from Kiruna to Narvik is already quite congested, so there is not really much spare capacity for providing connections to other mines. But its capacity is extended to some extent by providing more and longer two track sections for allowing trains to meet and by improving the track bed for allowing higher axle loads of 30 tons.

Skibotn is a village with 700 inhabitants having just a small boat harbor. A port for huge sea ships could be built there, but it would be completely new. Also the slope from there to Finland is quite steep making it quite expensive, but still possible to build a railroad. Being in Skibotn in 2012 I have been told that this connection is no longer seriously considered.

Kirkenes already has the rail line for the first few kilometers, but in 1435 mm, which would have to be converted to 1524 mm. If the line is built, it will have to pass Lake Inari in the east or in the west. Kirkenes already has a sea port with options for extending its capacity. Other than Skibotn Kirkenes might have some potential for passenger traffic, maybe for one daily train. Because it is the northeastern end of the Hurtigruten it is a relevant tourist destination. Consideration exist also to connect Kirkenes to the Russian railroad network.

Already south of the arctic circle it is worth mentioning that a new railroad line from Boden to Happaranda has been opened in 2012 running parallel to the shore of the Baltic Sea and shortening the trackage significantly. A huge drawback of the Swedish railroad network north of Sundsvall is that the trunk railroad lines have been built far away from the coast for military strategic reasons, leaving the connection of the major towns and cities which are near the coast to branch lines. This is no longer very competitive in these days. This has been fixed to some extent by the Bothnia Line running from Sundsvall to Umeå somewhat near the coast. This is a mostly single track high speed railroad line opened in 2010. An extension from Umeå to Luleå (near Boden) is considered as North Bothnia Line.

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Schwimmbäder

Wir Mitteleuropäer sind ja übergewichtig und leiden an Bewegungsmangel. Sicher ist es die beste Idee, wenn man auf seinen täglichen Wegen einen Teil der Strecke aus eigener Kraft zurücklegt, also z.B. zu Fuß oder mit dem Fahrrad zum Bahnhof kommt oder sogar mit dem Fahrrad statt mit dem Zug einen Teil des Rückwegs zurücklegt. Letztlich sollte man sich aber auch etwas suchen, was interessant genug ist, um es durchzuhalten und vielleicht ein bisschen Vielfalt bietet. So gibt es Schwimmbäder, Fitnessstudios und so etwas. Witzigerweise erkennt man an der Schwimmbadausstattung oft einiges über den Wohlstand der Stadt. In Zürich und Karlsruhe gab oder gibt es sehr viele Schwimmbäder, in Städten, die etwas knapper mit dem Geld sind, sind auch die Schwimmbäder oft sehr knapp…

Ein bisschen langweilig mag es sein, immer dieselbe Bahn zu schwimmen, aber witzigerweise kann man es interessanter machen, wenn man sich etwas Schwimmunterricht leistet, auch als Erwachsener, der schon schwimmen kann. Meistens ist das Brustschwimmen oder so etwas ähnliches, womit man zumindest nicht untergeht, dabei gilt richtiges Brustschwimmen als der schwierigste der vier gängigsten Schwimmstile und Kraulen als der einfachste. Ein bisschen Unterricht oder Betreuung ist wohl bei praktisch allen Sportarten eine gute Idee, damit man nichts falsch macht und die Zeit, die man dafür aufwendet, einigermaßen gut nutzt. Und es macht die Sache vielleicht sogar noch interessanter, vielleicht so interessant, dass man nicht damit aufhört.

Zugegebenermaßen schwimme ich lieber in einem See oder Fluss oder trotz Salzgehalt sogar in einem Meer, auch im Winter, solange das Wasser flüssig ist. Aber es ist schwierig, im Winter so lange zu schwimmen, wie es für die Fitness vielleicht gut wäre und so lohnt es sich vielleicht doch auf die Kulisse zu verzichten und mit einer türkisfarbenen Schwimmbadbahn Vorlieb zu nehmen, vielleicht mit etwas Unterricht ab und zu…

Ein paar Dinge könnten die Schwimmbäder vielleicht besser machen:

  • Man sollte die Bahnen doppelt so breit machen, so dass man quasi „vierspurig“ schwimmt. Auf den jetzigen schmalen Bahnen ist es wegen des ständigen Gegenverkehrs schwierig zu überholen bzw. überholt zu werden. Und jeder will sein Tempo schwimmen.
  • In amerikanischen Schwimmbädern gibt es immer so ein Walzenpaar mit einer Kurbel, wo man sein Schwimmzeug auswringen kann. Das ist einfach und hilfreich.
  • Auch in Europa gibt es Leute, die sich in fremden Schließfächern bedienen. Sichere Schließfächer wären sehr nützlich. Ein Kompromiss ist vielleicht so ein kleines Schließfach für die Wertsachen und ein großes für den Laptop und die Kleidung.

Aber jetzt hat der Zürichsee schon 11 bis 12 °C (52-53 °F).. Wenn dieser Artikel gelesen wird, dürfte es sogar schon mehr sein, da verliert das türkisfarbene Becken an Reiz, weil der See warm genug ist, um eine halbe oder sogar eine ganze Stunde lang zu schwimmen. Mindestens 45 min sind bei der Temperatur absolut realistisch und länger schwimme ich im Schwimmbad auch selten.

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Hochgeschwindigkeitsstrecken in China

Vor wenigen Jahren hatte China noch kein sehr gutes Bahnnetz für die Größe und Einwohnerzahl des Landes. Ein paar Strecken, aber die Vereinigten Staaten hatten sicher ein viel längeres Streckennetz. Das mag auch heute noch gelten, wenn man die reine Streckenlänge misst. Immerhin war 2007 ein Nachtzug von Chansha nach Peking nur 13 Stunden unterwegs auf einer Strecke, die etwa 1700 km lang ist. Für eine „konventionelle“ Strecke von dieser Länge ist das kein schlechter Schnitt, schon gar nicht für einen Nachtzug. In den Vereinigten Staaten hat man auf so langen Strecken eher einen 80er Schnitt zu erwarten. Allerdings warf man in China damals auch viel von dem Potential der Bahn weg, indem man den Fahrgästen solche Gepäckdurchleuchtungen wie beim Flughafen abverlangte, was etwa eine halbe Stunde vor der Abfahrt kostete und das Bahnreisen umständlich machte.

Aber innerhalb von weniger als zehn Jahren hat sich China das mit Abstand längste Netz an Hochgeschwindigkeitsstrecken der Welt gebaut und damit „Platzhirsche“ in diesem Bereich wie Japan, Frankreich, Spanien, Deutschland, Italien und Schweden locker überrundet. Man kann das jetzt leicht damit abtun, dass das Land so dicht besiedelt ist, so viele Leute hat, relativ niedrige Löhne und damit günstige Baukosten hat und dass ein autoritärer Staat seine Projekte ohne Diskussion durchziehen kann. Und China ist natürlich ein industrialisiertes Schwellenland geworden, dass zu solchen Projekten in der Lage ist. Und der Ausbau scheint ja auch in kaum verringertem Tempo weiterzugehen. Man kann auch noch nicht einmal sagen, dass China nun sehr stark auf die Bahn setzt, weil China sich in den letzten Jahrzehnten auch das mit Abstand längste Autobahnnetz der Welt zugelegt hat.

Wie sieht es in anderen Ländern aus? Ein typisches Szenario ist, dass solche Projekte für schnelle Bahnstrecken endlos lange dauern, ihre Kosten sehr hoch sind und eher noch überschritten werden und dass es nach Jahrzehnten vielleicht doch noch zur Einweihung kommt. Sehr viele Länder, auch Schwellenländer, erwägen solche Hochgeschindigkeitsstrecken zu bauen oder deren Netz zu erweitern, zum Beispiel Brasilien und Argentinien in Südamerika, Mexiko, die Vereinigten Staaten (zusätzlich zu dem bestehenden relativ kurzen Streckenabschnitt von Boston über New York nach Washington), etliche arabische Länder, z.B. Marokko und die Staaten des Golf Kooperationsrats, Iran, Russland, die Türkei, neuerdings etwas ernsthafter Indien und recht viele Staaten in Ost- und Südostasien.

Interessant ist aber, warum es außer China praktisch keinem anderen Land gelingt, diese Neubaustrecken einigermaßen zügig zu bauen. Einige Länder haben etwas weniger Geld, dann aber auch noch niedrigere Baukosten. Oder mehr Geld. Einige Länder haben auch autoritäre Strukturen… Länder in Form eines schmalen Streifens wie Vietnam oder Chile würden sich direkt anbieten, weil schon eine Nord-Süd-Strecke recht viel bringen könnte. Chile mag ja zu wenige Einwohner haben, aber Vietnam ist recht dicht besiedelt und sollte ein recht hohes Fahrgastpotential aufweisen. Dass derartige Projekte in den Vereinigten Staaten endlos verschleppt werden, kann man vielleicht noch damit erklären, dass dort die Auto-, Flugzeug- und Öllobbys sehr viel Einfluss haben.

Trotzdem bleibt es eine interessante Frage, wieso ausgerechnet in China in so kurzer Zeit so ein Hochgeschwindigkeitsnetz entstehen kann. während es fast überall sonst lange braucht oder gar nicht zustande kommt.

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Zahlen

Man denkt immer an

    \[{\Bbb N} = \{1, 2, 3, 4,5,6,\ldots\}\]

(natürliche Zahlen), oft auch mit der 0 noch zusätzlich dabei

    \[{\Bbb N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3,4,5,6,\ldots\}\]

Aber ganze Zahlen

    \[{\Bbb Z} = \{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots\}\]

und rationale Zahlen

    \[{\Bbb Q} = \{ \frac{x}{y} : x \in {\Bbb Z} \wedge y \in {\Bbb N}\}\]

kennt man auch noch.

Wie sieht es mit den reellen Zahlen {\Bbb R} aus? Diese ergeben sich, wenn man eine Abstandsfunktion, z.B. den Absolutbetrag der Differenz, mit den rationalen Zahlen betrachtet und verlangt, dass die rationalen Zahlen vervollständigt werden bezüglich Grenzwertbildung, was ich hier nicht ausführe. Oder man zieht eine Anordnung hinzu, z.B. unser übliches < und > und verlangt eine Abgeschlossenheit gegenüber Supremumsbildung. Wer nehmen also eine beliebige beschränkte Menge M \subseteq {\Bbb Q} von rationalen Zahlen. Beschränkt bedeutet, dass es eine rationale Zahl R gibt, so dass

    \[\bigwedge_{x \in M} -R < x <R\]

(für alle Elemente x der Menge M ist -R < x < R) erfüllen. Dazu kann man noch eine Menge

    \[N \subseteq {\Bbb Q}\]

definieren so dass

    \[N=\{y \in {\Bbb Q} : \bigwedge_{x \in M} y >= x\}.\]

Dann kann man das Supremum

    \[s = sup(M) \in {\Bbb R}\]

definieren durch

    \[\bigwedge_{x \in M} x \le s \wedge \bigwedge_{y \in N} s \le y.\]

Nun ist dieses Supremum eindeutig, es existiert für alle beschränkten Mengen und man kann damit sogar die reellen Zahlen definieren. Ach ja \wedge bedeutet „und“, \vee bedeutet „oder“ und

    \[\bigwedge_{x \in M}\ldots\]

bedeutet „für alle x in M …“, was sozusagen zusammen-„ge-undet“ ist aus den Aussagen für die einzelnen x. Und

    \[\bigvee_{x \in M}\ldots\]

bedeutet „es existiert ein x in M mit …“, was sozusagen zusammen-„ge-odert“ ist aus den Aussage für die einzelnen x.

Das merkwürdige ist nun, dass die rationalen Zahlen es erlauben, jede reelle Zahl beliebig genau zu approximieren, was ja in der Natur des Supremums liegt, aber dass die reelle Zahl selbst nicht rational sein muss. Es ist sogar so, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, dass es also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen gibt, die es erlaubt, jeder natürlichen Zahl eine rationale Zahl zuzuordnen und dabei jede raionale Zahl zu treffen, während die rellen Zahlen überabzählbar sind, was bedeutet, dass dasselbe für reelle Zahlen nicht so möglich ist.

Die komplexen Zahlen {\Bbb C} sind wiederum die algebraische Vervollständigung der rellen Zahlen, was bedeutet, dass zu jedem Polynom

    \[p(X)=\sum_{j=0}^n a_j X^j\]

mit

    \[\bigwedge_{j=0}^n a_j \in {\Bbb R}\]

eine komplexe Zahl z \in {\Bbb C} existiert so dass p(z)=0 ist. Man kann sie sich auch mit einem imaginären i vorstellen, für das i^2 = -1 gilt und dann sind die komplexen Zahlen

    \[{\Bbb C = \{ x + i y : x, y \in {\Bbb R}\}.\]

Mindestens unter den Elektrotechnikern, Physikern und Mathematikern sind die komplexen Zahlen recht vertraut.

Etwas weniger bekannt sind die algebraischen Zahlen

    \[{\Bbb A} = \{ z \in {\Bbb C}} : \bigvee_{n\in{\Bbb N}} \bigvee_{a_0, a_1,\ldots a_n \in {\Bbb Q}}: p(z) = \sum_{j=0}^n a_j z^j = 0 \},\]

die wiederum wie die rationalen Zahlen abzählbar sind. Die Quadratwurzel von 2 ist z.B. eine algebraische Zahl, aber keine rationale Zahl.

Dann gibt es aber noch so etwas wie endliche Körper, die man z.B. dadurch erhält, dass man eine Primzahl p zugrundelegt und mit Ganzzahlen rechnet, aber nur die Reste bei Division mit Rest durch p betrachtet. Man nennt das Restklassen, weil Zahlen, die denselben Rest ergeben, nicht unterschieden werden und zusammen eine Restklasse bilden. Diese Körper werden oft mit {\Bbb F}_p oder GF(p) bezeichnet.

Wenn man die Vervollständigung durch Grenzwertbildung oder durch topologische Prozesse betrachtet, kann man für eine Primzahl p von den rationalen Zahlen auch auf die p-adischen Zahlen kommen. Als Betragsfunktion nimmt man hier für eine rationale Zahl der Form

    \[p^n \frac{x}{y}\]

mit nicht durch p teilbaren x und y und einem ganzzahligen n so etwas

    \[|p^n \frac{x}{y}|_p = p^{-n}.\]

Eine Zahl ist also umso näher an 0, wenn sie durch eine hohe Potenz der Primzahl p teilbar ist.

Die Details habe ich hier nur angedeutet, sie stehen in Wikipedia… Das mag hier nur als Denkanregung dienen. Interessant ist übrigens auch die Frage, wie man diese Zahlen in der Informatik in verschiedenen Programmiersprachen ausdrücken kann. Vielleicht kommt dazu einmal etwas in meinem anderen Blog.

Um diejenigen zu beruhigen, denen das hier zu mathematisch war, es werden auch wieder andere Themen kommen, aber diese Blog soll doch auch eine gewisse Themenvielfalt beinhalten… 😉

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