Zahlen

Man denkt immer an

    \[{\Bbb N} = \{1, 2, 3, 4,5,6,\ldots\}\]

(natürliche Zahlen), oft auch mit der 0 noch zusätzlich dabei

    \[{\Bbb N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3,4,5,6,\ldots\}\]

Aber ganze Zahlen

    \[{\Bbb Z} = \{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots\}\]

und rationale Zahlen

    \[{\Bbb Q} = \{ \frac{x}{y} : x \in {\Bbb Z} \wedge y \in {\Bbb N}\}\]

kennt man auch noch.

Wie sieht es mit den reellen Zahlen {\Bbb R} aus? Diese ergeben sich, wenn man eine Abstandsfunktion, z.B. den Absolutbetrag der Differenz, mit den rationalen Zahlen betrachtet und verlangt, dass die rationalen Zahlen vervollständigt werden bezüglich Grenzwertbildung, was ich hier nicht ausführe. Oder man zieht eine Anordnung hinzu, z.B. unser übliches < und > und verlangt eine Abgeschlossenheit gegenüber Supremumsbildung. Wer nehmen also eine beliebige beschränkte Menge M \subseteq {\Bbb Q} von rationalen Zahlen. Beschränkt bedeutet, dass es eine rationale Zahl R gibt, so dass

    \[\bigwedge_{x \in M} -R < x <R\]

(für alle Elemente x der Menge M ist -R < x < R) erfüllen. Dazu kann man noch eine Menge

    \[N \subseteq {\Bbb Q}\]

definieren so dass

    \[N=\{y \in {\Bbb Q} : \bigwedge_{x \in M} y >= x\}.\]

Dann kann man das Supremum

    \[s = sup(M) \in {\Bbb R}\]

definieren durch

    \[\bigwedge_{x \in M} x \le s \wedge \bigwedge_{y \in N} s \le y.\]

Nun ist dieses Supremum eindeutig, es existiert für alle beschränkten Mengen und man kann damit sogar die reellen Zahlen definieren. Ach ja \wedge bedeutet „und“, \vee bedeutet „oder“ und

    \[\bigwedge_{x \in M}\ldots\]

bedeutet „für alle x in M …“, was sozusagen zusammen-„ge-undet“ ist aus den Aussagen für die einzelnen x. Und

    \[\bigvee_{x \in M}\ldots\]

bedeutet „es existiert ein x in M mit …“, was sozusagen zusammen-„ge-odert“ ist aus den Aussage für die einzelnen x.

Das merkwürdige ist nun, dass die rationalen Zahlen es erlauben, jede reelle Zahl beliebig genau zu approximieren, was ja in der Natur des Supremums liegt, aber dass die reelle Zahl selbst nicht rational sein muss. Es ist sogar so, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, dass es also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen gibt, die es erlaubt, jeder natürlichen Zahl eine rationale Zahl zuzuordnen und dabei jede raionale Zahl zu treffen, während die rellen Zahlen überabzählbar sind, was bedeutet, dass dasselbe für reelle Zahlen nicht so möglich ist.

Die komplexen Zahlen {\Bbb C} sind wiederum die algebraische Vervollständigung der rellen Zahlen, was bedeutet, dass zu jedem Polynom

    \[p(X)=\sum_{j=0}^n a_j X^j\]

mit

    \[\bigwedge_{j=0}^n a_j \in {\Bbb R}\]

eine komplexe Zahl z \in {\Bbb C} existiert so dass p(z)=0 ist. Man kann sie sich auch mit einem imaginären i vorstellen, für das i^2 = -1 gilt und dann sind die komplexen Zahlen

    \[{\Bbb C = \{ x + i y : x, y \in {\Bbb R}\}.\]

Mindestens unter den Elektrotechnikern, Physikern und Mathematikern sind die komplexen Zahlen recht vertraut.

Etwas weniger bekannt sind die algebraischen Zahlen

    \[{\Bbb A} = \{ z \in {\Bbb C}} : \bigvee_{n\in{\Bbb N}} \bigvee_{a_0, a_1,\ldots a_n \in {\Bbb Q}}: p(z) = \sum_{j=0}^n a_j z^j = 0 \},\]

die wiederum wie die rationalen Zahlen abzählbar sind. Die Quadratwurzel von 2 ist z.B. eine algebraische Zahl, aber keine rationale Zahl.

Dann gibt es aber noch so etwas wie endliche Körper, die man z.B. dadurch erhält, dass man eine Primzahl p zugrundelegt und mit Ganzzahlen rechnet, aber nur die Reste bei Division mit Rest durch p betrachtet. Man nennt das Restklassen, weil Zahlen, die denselben Rest ergeben, nicht unterschieden werden und zusammen eine Restklasse bilden. Diese Körper werden oft mit {\Bbb F}_p oder GF(p) bezeichnet.

Wenn man die Vervollständigung durch Grenzwertbildung oder durch topologische Prozesse betrachtet, kann man für eine Primzahl p von den rationalen Zahlen auch auf die p-adischen Zahlen kommen. Als Betragsfunktion nimmt man hier für eine rationale Zahl der Form

    \[p^n \frac{x}{y}\]

mit nicht durch p teilbaren x und y und einem ganzzahligen n so etwas

    \[|p^n \frac{x}{y}|_p = p^{-n}.\]

Eine Zahl ist also umso näher an 0, wenn sie durch eine hohe Potenz der Primzahl p teilbar ist.

Die Details habe ich hier nur angedeutet, sie stehen in Wikipedia… Das mag hier nur als Denkanregung dienen. Interessant ist übrigens auch die Frage, wie man diese Zahlen in der Informatik in verschiedenen Programmiersprachen ausdrücken kann. Vielleicht kommt dazu einmal etwas in meinem anderen Blog.

Um diejenigen zu beruhigen, denen das hier zu mathematisch war, es werden auch wieder andere Themen kommen, aber diese Blog soll doch auch eine gewisse Themenvielfalt beinhalten… 😉

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Primzahlpaare

Gibt es unendlich viele Primzahlpaare?

Eine Primzahl ist eine positive natürliche Zahl, mit der Eigenschaft, daß sie einen der beiden Faktoren teilt, wenn sie ein Produkt teilt:

    \[ p \in \Bbb P \Leftrightarrow p \in \Bbb N \wedge p > 0 \wedge \bigwedge_{a,b \in \Bbb N}( p | ab \Rightarrow p | a \vee p | b) \]

Primzahlpaare (p, q) sind Paare von Primzahlen mit q = p + 2, z.B. (5, 7) oder (17, 19).

Nun hat man schon seit der Antike vermutet, daß es unendlich viele Primzahlpaare gibt, aber es ist nie ein Beweis dafür gelungen. Ein chinesischer Mathematiker hat nun eine schwächere Aussage bewiesen, daß es unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, die sich höchstens um 70’000’000 unterscheiden.

Nature: First proof that infinitely many prime numbers come in pairs

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