Partialbruchzerlegung

Mal etwas über Mathematik, was man sehr leicht verstehen kann, aber was nur wenige kennen:

Die Partialbruchzerlegung. Einige von uns haben sie sicher schon für Polynome kennengelernt aber sie funktioniert auch für rationale Zahlen.

Wenn man gekürzte Brüche addiert, z.B. Drittel und Viertel, bei denen die Nenner (paarweise) teilerfremd sind, bekommt man als Ergebnis gekürzte Brüche, bei denen die Nenner das Produkt der Nenner der Summanden sind. Das muss so sein, denn wenn man zu einem (gekürzten) Bruch q=\frac{r}{s} andere Brüche addiert, deren Nenner keine gemeinsamen Teiler mit s haben, dann muss man diese mit s erweitern, um sie auf den „Hauptnenner“ zu bringen. Und q muss man mit einem Faktor t erweitern, der keine gemeinsamen Teiler mit s hat. Alle Zähler außer r\cdot t sind also durch s teilbar, aber r\cdot t hat keine gemeinsamen Teiler mit s. Damit hat diese Summe der Zähler auch keinen gemeinsamen Teiler mit s und man kann nicht gegen Faktoren von s kürzen. Das gilt entsprechend für die ursprünglichen Nenner aller anderen Summanden und so bleibt das Produkt der Nenner als Nenner der Summe bestehen.

Wenn man also Drittel und Viertel addiert, bekommt man Zwölftel, wenn man Viertel und Fünftel addiert, Zwanzigstel u.s.w. Das sind ja auch „Erfahrungswerte“. Das lässt sich aber auch umkehren. Man kann z.B. Zwölftel als Summe (oder Differenz) von Vierteln und Dritteln darstellen. Das sei zur Motivation gesagt. Nun lässt sich das allgemein formulieren:

Wenn wir also eine rational Zahl \frac{r}{s} haben, können wir sie als Summe von Brüchen darstellen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind, zuzüglich einem ganzzahligen Anteil. Die Zähler sind alle kleiner als die betreffende Primzahl. Wenn also \frac{r}{s} schon „gekürzt“ ist, also \gcd(r,s)=1 und s>0, dann können wir für s die folgende Primfaktorzerlegung annehmen s=\prod_{k=1}^n p_k^{m_k}=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2} \cdots p_n^{m_n} mit Primzahlen p_1, p_2,\ldots, p_n und Multiplizitäten m_1, m_2,...,m_n. Dann gibt es eine ganze Zahl N und ganze Zahlen s_{i,j} mit

    \[\bigwedge_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^{m_n} 0\le s_{i,j} < p_i\]

und

    \[\frac{r}{s} = N + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m_n} \frac{s_{i,j}}{p_i^j}\]

Wie kann man diese Partialbruchzerlegung finden? Damit hat man den Beweis auch gleich gratis mit dabei.

Man kann zuerst einmal das N ermitteln und zwar so dass \frac{r}{s}=N+\frac{r'}{s} ist und 0 \le \frac{r'}{s} < 1. Das gilt für negative und positive Ausgangsbrüche. Für jede Primzahlpotenz p_k^{m_k}, die im Nenner steckt, lassen sich gemäß dem chinesischen Restesatz Zahlen e_k finden so dass

    \[e_k \equiv 1 \mod p_k^{m_k}\]

and

    \[\bigwedge_{i \ne k} e_k \equiv 0 \mod p_i^{m_i}\]

gilt. Diese lassen sich mit dem erweiterten Euklidalgorithmus ermitteln. Setzen wir

    \[S_k = \frac{s}{p_k^{m_k}},\]

dann gilt

    \[\gcd(p_k^{m_k}, S_k)=1\]

und das lässt sich darstellen als

    \[1= \gcd(p_k^{m_k}, S_k)=u_k \cdot p_k^{m_k} + v_k \cdot S_k.\]

Die Wahl von e_k = v_k \cdot S_k erfüllt genau die obigen Kongrueznbedingungen. Das lässt sich für alle k=1\ldots n so ermitteln.
Nun gilt nach dem chinesichen Restesatz für die Summe der e_i

    \[\sum_{i=1}^m e_i \equiv 1 \mod s\]

oder

    \[\sum_{i=1}^m e_i = 1 + w\cdot s\]

für ein ganzzahliges w.
Nun kann man das anwenden:

    \[\frac{r'}{s} = \frac{1}{s}(\sum_{i=1}^n e_i - w\cdot s) r' = -r'w + \sum_{i=1}^n \frac{\frac{e_k\cdot r'}{S_k}}{p_k^{m_k}} = -r'w + \sum_{i=1}^n \frac{r'v_k}{p_k^{m_k}}\]

Der Rest ist trivial, weil man r'v_k in der Form

    \[r'v_k = \sum_{j=0}^m a_j p_k^j\]

mit 0 \le a_j < p_k darstellen kann.

Wie so oft funktioniert genau dieselbe Überlegung auch 1:1 für Polynome über beliebigen Körpern, wo die Partialbruchzerlegung allgemein etwas bekannter und wohl auch nützlicher ist. Man kann sie zum Beispiel in der Integralrechnung oft gebrauchen, um bestimmte Klassen von Funktionen integrieren zu können.

Rationale Funktionen

    \[f(x) = \frac{\sum_{j=0}^n a_j x^j}{\sum_{j=0}^m b_j x^j}\]

lassen sich, wenn man über den komplexen Zahlen arbeitet, in die Form

    \[f(x) = \sum_{j=0}^l c_j x^j + \sum_{i=1}^p\sum_{j=0}^q \frac{d_{i,j}}{(x-e_j)^i}\]

bringen.
Oder wenn man bei den rellen Zahlen bleiben will in die Form

    \[f(x) = \sum_{j=0}^l c_j x^j + \sum_{i=1}^p\sum_{j=0}^q \frac{f_{i,j}(x)}{g_j(x)^i}\]

mit Polynomen g_j(x), die entweder linear oder quadratisch ohne reelle Nullstellen sind und mit höchstens linearen Polynomen im Zähler, bringen. Wenn man nur das Polynom faktorisieren könnte, was wiederum schwierig sein kann.

Wer mag, kann die Integralrechnug auch auf rationale Funktionen über endliche Körper erweitern, allerdings dürfen dann keine Exponenten vorkommen, die sich durch die Charakterestik des endlichen Körpers teilen lassen, weil dann das \itn x^n = \frac{x^{n-1}}{n} + C eine Division durch null beinhalten würde. Man sollte sich natürlich in den Zerfällungskörper des Polynoms im Nenner begeben, um in Linearfaktoren faktorisieren zu können.

Ganze Zahlen kann man immer faktorisieren, wenn man nur genug Zeit und Rechenleistung hat, das heißt, dass sich die obige Partialbruchzerlegung immer berechnen lässt.

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