Partialbruchzerlegung

Mal etwas über Mathematik, was man sehr leicht verstehen kann, aber was nur wenige kennen:

Die Partialbruchzerlegung. Einige von uns haben sie sicher schon für Polynome kennengelernt aber sie funktioniert auch für rationale Zahlen.

Wenn man gekürzte Brüche addiert, z.B. Drittel und Viertel, bei denen die Nenner (paarweise) teilerfremd sind, bekommt man als Ergebnis gekürzte Brüche, bei denen die Nenner das Produkt der Nenner der Summanden sind. Das muss so sein, denn wenn man zu einem (gekürzten) Bruch q=\frac{r}{s} andere Brüche addiert, deren Nenner keine gemeinsamen Teiler mit s haben, dann muss man diese mit s erweitern, um sie auf den „Hauptnenner“ zu bringen. Und q muss man mit einem Faktor t erweitern, der keine gemeinsamen Teiler mit s hat. Alle Zähler außer r\cdot t sind also durch s teilbar, aber r\cdot t hat keine gemeinsamen Teiler mit s. Damit hat diese Summe der Zähler auch keinen gemeinsamen Teiler mit s und man kann nicht gegen Faktoren von s kürzen. Das gilt entsprechend für die ursprünglichen Nenner aller anderen Summanden und so bleibt das Produkt der Nenner als Nenner der Summe bestehen.

Wenn man also Drittel und Viertel addiert, bekommt man Zwölftel, wenn man Viertel und Fünftel addiert, Zwanzigstel u.s.w. Das sind ja auch „Erfahrungswerte“. Das lässt sich aber auch umkehren. Man kann z.B. Zwölftel als Summe (oder Differenz) von Vierteln und Dritteln darstellen. Das sei zur Motivation gesagt. Nun lässt sich das allgemein formulieren:

Wenn wir also eine rational Zahl \frac{r}{s} haben, können wir sie als Summe von Brüchen darstellen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind, zuzüglich einem ganzzahligen Anteil. Die Zähler sind alle kleiner als die betreffende Primzahl. Wenn also \frac{r}{s} schon „gekürzt“ ist, also \gcd(r,s)=1 und s>0, dann können wir für s die folgende Primfaktorzerlegung annehmen s=\prod_{k=1}^n p_k^{m_k}=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2} \cdots p_n^{m_n} mit Primzahlen p_1, p_2,\ldots, p_n und Multiplizitäten m_1, m_2,...,m_n. Dann gibt es eine ganze Zahl N und ganze Zahlen s_{i,j} mit

    \[\bigwedge_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^{m_n} 0\le s_{i,j} < p_i\]

und

    \[\frac{r}{s} = N + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m_n} \frac{s_{i,j}}{p_i^j}\]

Wie kann man diese Partialbruchzerlegung finden? Damit hat man den Beweis auch gleich gratis mit dabei.

Man kann zuerst einmal das N ermitteln und zwar so dass \frac{r}{s}=N+\frac{r'}{s} ist und 0 \le \frac{r'}{s} < 1. Das gilt für negative und positive Ausgangsbrüche. Für jede Primzahlpotenz p_k^{m_k}, die im Nenner steckt, lassen sich gemäß dem chinesischen Restesatz Zahlen e_k finden so dass

    \[e_k \equiv 1 \mod p_k^{m_k}\]

and

    \[\bigwedge_{i \ne k} e_k \equiv 0 \mod p_i^{m_i}\]

gilt. Diese lassen sich mit dem erweiterten Euklidalgorithmus ermitteln. Setzen wir

    \[S_k = \frac{s}{p_k^{m_k}},\]

dann gilt

    \[\gcd(p_k^{m_k}, S_k)=1\]

und das lässt sich darstellen als

    \[1= \gcd(p_k^{m_k}, S_k)=u_k \cdot p_k^{m_k} + v_k \cdot S_k.\]

Die Wahl von e_k = v_k \cdot S_k erfüllt genau die obigen Kongrueznbedingungen. Das lässt sich für alle k=1\ldots n so ermitteln.
Nun gilt nach dem chinesichen Restesatz für die Summe der e_i

    \[\sum_{i=1}^m e_i \equiv 1 \mod s\]

oder

    \[\sum_{i=1}^m e_i = 1 + w\cdot s\]

für ein ganzzahliges w.
Nun kann man das anwenden:

    \[\frac{r'}{s} = \frac{1}{s}(\sum_{i=1}^n e_i - w\cdot s) r' = -r'w + \sum_{i=1}^n \frac{\frac{e_k\cdot r'}{S_k}}{p_k^{m_k}} = -r'w + \sum_{i=1}^n \frac{r'v_k}{p_k^{m_k}}\]

Der Rest ist trivial, weil man r'v_k in der Form

    \[r'v_k = \sum_{j=0}^m a_j p_k^j\]

mit 0 \le a_j < p_k darstellen kann.

Wie so oft funktioniert genau dieselbe Überlegung auch 1:1 für Polynome über beliebigen Körpern, wo die Partialbruchzerlegung allgemein etwas bekannter und wohl auch nützlicher ist. Man kann sie zum Beispiel in der Integralrechnung oft gebrauchen, um bestimmte Klassen von Funktionen integrieren zu können.

Rationale Funktionen

    \[f(x) = \frac{\sum_{j=0}^n a_j x^j}{\sum_{j=0}^m b_j x^j}\]

lassen sich, wenn man über den komplexen Zahlen arbeitet, in die Form

    \[f(x) = \sum_{j=0}^l c_j x^j + \sum_{i=1}^p\sum_{j=0}^q \frac{d_{i,j}}{(x-e_j)^i}\]

bringen.
Oder wenn man bei den rellen Zahlen bleiben will in die Form

    \[f(x) = \sum_{j=0}^l c_j x^j + \sum_{i=1}^p\sum_{j=0}^q \frac{f_{i,j}(x)}{g_j(x)^i}\]

mit Polynomen g_j(x), die entweder linear oder quadratisch ohne reelle Nullstellen sind und mit höchstens linearen Polynomen im Zähler, bringen. Wenn man nur das Polynom faktorisieren könnte, was wiederum schwierig sein kann.

Wer mag, kann die Integralrechnug auch auf rationale Funktionen über endliche Körper erweitern, allerdings dürfen dann keine Exponenten vorkommen, die sich durch die Charakterestik des endlichen Körpers teilen lassen, weil dann das \itn x^n = \frac{x^{n-1}}{n} + C eine Division durch null beinhalten würde. Man sollte sich natürlich in den Zerfällungskörper des Polynoms im Nenner begeben, um in Linearfaktoren faktorisieren zu können.

Ganze Zahlen kann man immer faktorisieren, wenn man nur genug Zeit und Rechenleistung hat, das heißt, dass sich die obige Partialbruchzerlegung immer berechnen lässt.

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Mehrwertsteuer Rückerstattung: versteckte Förderung von Auto und Flugzeug

Wer in der Nähe einer Zollgrenze wohnt, kennt das Thema. Man kann auf der anderen Seite der Grenze einkaufen und bekommt die Mehrwertsteuer zurück, wenn man sich die Ausfuhr an der Grenze bestätigen lässt. Das sind z.B. in Deutschland 19%. Man muss im Land, wo man wohnt, die Mehrwertsteuer zahlen, aber nur oberhalb einer gewissen Freigrenze.

Nun muss man an der Grenze Zollbeamte finden.

Das funktioniert am besten auf der Straße. Man wählt einen Grenzübergang, der 24 Stunden offen hat oder zumindest jetzt gerade offen ist. Eine Unart ist, dass oft der einzige Übergang, der 24 Stunden offen hat, eine Straße mit Fahrradverbot ist. Mit dem Auto geht es am besten.

Auch im internationalen Flughafen findet man immer jemanden vom Zoll, man muss nur suchen, weil der normale Weg vom Flughafeneingang zum Gate da nicht so direkt vorbeiführt wie bei den Taxfree-Einkaufsparadiesen, die auch mehrwertsteuerfrei, aber dafür mit den Preisen so zulangen, dass es sich wegen der Preise nicht wirklich lohnt. Und bei der Ausreise hat man meist noch etwas Zeit übrig. Zum Einkaufen oder eben zum Besuch beim Zoll.

Mit dem Fahrrad kann man Pech haben, dass die Grenzübergänge, wo Zollbeamte anzutreffen wären, gerade zu sind. Und man trifft nun an den Übergängen mit Fahrradverbot genau mit 100% Wahrscheinlichkeit Polizei oder Zoll, die einem Stress machen. Man kann aber auch Glück haben, dass es einen Übergang ohne zu große Umwege gibt, wo Zoll anwesend ist und wo man auch kein Fahrradverbot hat.

Für Bahnfahrer sieht es ganz schlecht aus. Früher kam der Zoll im Zug vorbei. Das ist vorbei. Oder kommt nur noch sehr selten vor, man kann damit nicht rechnen. Man kann in Basel Badischer Bahnhof aussteigen, dort den Zoll finden und dann einfach mit dem nächsten Zug weiterfahren. Früher ging das auch in Schaffhausen, aber das ist vorbei. Der Zoll im Baseler Bahnhof hat aber nur sehr reduzierte Öffnungszeiten.

Es geht hier durchaus um größere Summen. Wenn ein Einkauf von 300 EUR fast 60 EUR Mehrwertsteuer enthält, dann ist das schon ein gewichtiger Faktor bei der Verkehrsmittelwahl. Und die Bahn ist da total im Nachteil, weil man als Bahnreisender fast keine Chance hat, das zu bekommen. Als Radfahrer manchmal. Und als Flug- oder Autoreisender immer.

Ich denke, hier sollte man sich dafür einsetzen, dass entweder Autobahnen jeweils an der letzten Abfahrt vor der Grenze zu normalen Straßen werden, die alle benutzen dürfen oder dass eine parallele Straße ohne Fahrradverbot eine mindestens so lange geöffnete Zollstellen hat wie die Fahrradverbotsstraße. Und dass auch Bahnreisende diese Möglichkeit wieder bekommen, nicht nur in Basel Bad Mo-Fr von 9:00 bis 18:00.

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Fehmarnbeltquerung neu denken

Da die Fehmarnbeltquerung in Frage gestellt wird, ist es Zeit, diese neu überdenken.

Es gibt zwei Komponenten dieses Projekts. Einen Straßentunnel, der Fahrradverbot aufweisen soll, und eine Eisenbahntunnel. So einen Straßentunnel nur für Motorfahrzeuge zu bauen ist in Zeiten von Fridays for Future ein Anachronismus oder zumindest fragwürdig. Für den Straßenverkehr ist die heutige Fährverbindung eine adäquate Lösung, die gut funktioniert und die man so beibehalten sollte.

Dagegen ist es durchaus sinnvoll, einen reinen Bahntunnel zu bauen. Mit langen Bahntunneln hat man inzwischen jahrzehntelange Erfahrungen, auch mit solchen, die größeren Meeresteile unterqueren, z.B. der Ärmelkanaltunnel oder der Seikantunnel. Er bietet auch für den ausgebrochenen Querschnitt eine sehr hohe Kapazität, was so ein Tunnelprojekt als reinen Bahntunnel effizienter macht. Zwei große Probleme entfallen bei einem Bahntunnel oder fallen zumindest sehr viel geringer aus. Bahnen fahren auf solchen Strecken elektrisch und man braucht Dieselloks wenn überhaupt nur bei Störungen. Das erleichtert die Lüftung. Außerdem ist das Unfallrisiko bei der Bahn sehr viel kleiner, zumal so eine Tunnelstrecke für Fußgänger nicht gut zugänglich ist und dort auch kaum „Personenunfälle“ (bei der Bahn sind das meist Suizide) zu erwarten sind.

Ein reiner Bahntunnel und ein Ausbau oder Neubau der Strecken von Hamburg bis Kopenhagen für 160 bis 200 km/h, mit mehrheitlich 200 km/h, könnte eine Fahrt von Hamburg nach Kopenhagen in 2 1/2 oder sogar in 2 Stunden ermöglichen. Auch nach Berlin könnte man in 3 1/2 bis 4 Stunden kommen, wenn man den Umweg über Hamburg vermeidet. Ein Betriebsprogramm wäre z.B. ein stündlicher Zug von Kopenhagen nach Lübeck. In Lübeck wird er geteilt und ein Teil fährt nach Hamburg und ein Teil abwechselnd jeweils jede zweite Stunde nach Hannover und Berlin. Dazu müsste man die Strecken von Lübeck nach Lüneburg und nach Schwerin (einschließlich Verbindungskurve an Bad Kleinen vorbei) elektrifizieren und entsprechend ausbauen und auch die Strecke von Hamburg nach Lübeck würde einen gewissen Ausbau gut vertragen, neben dem sowieso beschlossenen Ausbau und teilweisen Neubau zwischen Lübeck und Puttgarden. So könnte die Bahn im Verkehr zwischen Südschweden und dem Großraum Kopenhagen einerseits und Hannover, Berlin und Hamburg andererseits einen Zeitvorteil vor allen anderen Verkehrsmitteln erzielen. Der Güterverkehr auf der Schiene könnte den Umweg von 160 Kilometern über Flensburg und die Querung des großen Belts sparen und an Wettbewerbsfähigkeit gewinnen. Außerdem gewinnt der Güterverkehr mit Skandinavien an Zuverlässigkeit, weil die Route über Flensburg mit der Durchquerung von Hamburg, mit der Brücke über den Nord-Ostsee-Kanal und mit der Querung des großen Belts drei Achillesversen aufweist, so dass eine zweite leistungsfähige Route für den Schienengüterverkehr wichtig ist. Auch Nachtzüge, die wir bald wieder zwischen Schweden, Dänemark und Deutschland sehen werden, werden enorm davon profitieren, diese 160 km Umweg nicht fahren zu müssen.

Das sollte man machen: Fehmarnbelttunnel ja, aber unbedingt als reinen zweigleisigen Eisenbahntunnel. Das ist die richtige Lösung für die Vogelfluglinie.

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Tunnel Rastatt: Plan zur Fertigstellung

Der Tunnel in Rastatt wird nun nach etwa zwei Jahren Unterbrechung wieder weitergebaut.

Man hat wegen der Havarie im Tunnel wohl Angst, weiter zu bauen und deshalb lange gezögert. Jetzt gibt es immerhin einen Plan. Die von der Havarie nicht betroffene Weströhre wird wie geplant mit der Tunnelbohrmaschine gebaut. Sie soll bis 2020 im Rohbau fertig sein. Danach wird die Bestandsstrecke auf 700 Metern Länge verlegt, so dass sie oberhalb dieser fertigen Röhre verläuft. Dann wird der Rest der Oströhre in offener Bauweise erstellt. Am Schluss wird die Bestandsstrecke wieder an ihren alten Standort verlegt und die Gleise, Oberleitungen und Kabel werden eingebaut. Im Jahr 2024 wird der Tunnel fertig sein und dann ein ganzes Jahr getestet, bevor er 2025 offiziell in Betrieb genommen wird.

Ein paar Fragen bleiben:

  • Warum brauchte man zwei Jahre für die Spurensicherung der Havarie? Diese Verzögerung kostet auch viel
  • Warum kann man nach der Fertigstellung der Betonplatte nicht auch unter dieser bauen?
  • Warum kann man nicht die Weströhre schon 2021 in Betrieb nehmen und die Oströhre etwas später? Das würde den Engpass bei Rastatt schon teilweise entlasten
  • Warum ist die Restbauzeit nach der Havarie etwa gleich lang wie für das Projekt Rogfast, bei dem von 2018 bis 2026 ein 27 km langer Straßentunnel unter dem Meer gebaut wird?
  • Warum muss man so einen Tunnel über ein Jahr lang testen?

Ergänzung 2019-10-04: Gemäß Wikipedia ist die Inbetriebnahme nur einer Röhre nicht zulässig, weil die zweite Röhre als möglicher Fluchtweg zur Verfügung stehen muss. Trotzdem ist es bedauerlich, dass dieses Projekt sich jetzt so in die Länge zieht und nicht zügiger vorankommt, wo die Röhren doch eigentlich fast fertig sind.

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