Man denkt immer an
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\Bbb N} = \{1, 2, 3, 4,5,6,\ldots\}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ad2260edd1a357336ca879a4b6ee74e_l3.png)
(natürliche Zahlen), oft auch mit der
noch zusätzlich dabei
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\Bbb N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3,4,5,6,\ldots\}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-caba571c2be2f5d9650ecf5182f68578_l3.png)
Aber ganze Zahlen
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\Bbb Z} = \{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots\}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8d8f8f3c54a709a6a8555f3eed4b2d3_l3.png)
und rationale Zahlen
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\Bbb Q} = \{ \frac{x}{y} : x \in {\Bbb Z} \wedge y \in {\Bbb N}\}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e477f71dd93f34cf7ad79c9385105185_l3.png)
kennt man auch noch.
Wie sieht es mit den reellen Zahlen
aus? Diese ergeben sich, wenn man eine Abstandsfunktion, z.B. den Absolutbetrag der Differenz, mit den rationalen Zahlen betrachtet und verlangt, dass die rationalen Zahlen vervollständigt werden bezüglich Grenzwertbildung, was ich hier nicht ausführe. Oder man zieht eine Anordnung hinzu, z.B. unser übliches
und
und verlangt eine Abgeschlossenheit gegenüber Supremumsbildung. Wer nehmen also eine beliebige beschränkte Menge
von rationalen Zahlen. Beschränkt bedeutet, dass es eine rationale Zahl
gibt, so dass
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\bigwedge_{x \in M} -R < x <R\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f83755859293c3ed0997026455cde74_l3.png)
(für alle Elemente
der Menge M ist
) erfüllen. Dazu kann man noch eine Menge
![Rendered by QuickLaTeX.com \[N \subseteq {\Bbb Q}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e63f68e49dad5fe4364b2106e3f27506_l3.png)
definieren so dass
![Rendered by QuickLaTeX.com \[N=\{y \in {\Bbb Q} : \bigwedge_{x \in M} y >= x\}.\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0abbe044ebd41fd13cc1d674ab5882de_l3.png)
Dann kann man das Supremum
![Rendered by QuickLaTeX.com \[s = sup(M) \in {\Bbb R}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c094c7ec7781c37e2ac8dc4ee2039b75_l3.png)
definieren durch
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\bigwedge_{x \in M} x \le s \wedge \bigwedge_{y \in N} s \le y.\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2811c7f44bcf5d0c0c139125e067eb25_l3.png)
Nun ist dieses Supremum eindeutig, es existiert für alle beschränkten Mengen und man kann damit sogar die reellen Zahlen definieren. Ach ja
bedeutet „und“,
bedeutet „oder“ und
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\bigwedge_{x \in M}\ldots\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-020bdf03be86df82056365ad8cc3a706_l3.png)
bedeutet „für alle
in
…“, was sozusagen zusammen-„ge-undet“ ist aus den Aussagen für die einzelnen
. Und
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\bigvee_{x \in M}\ldots\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f78e818d70864c7f767b6beb1ef2b95b_l3.png)
bedeutet „es existiert ein
in
mit …“, was sozusagen zusammen-„ge-odert“ ist aus den Aussage für die einzelnen
.
Das merkwürdige ist nun, dass die rationalen Zahlen es erlauben, jede reelle Zahl beliebig genau zu approximieren, was ja in der Natur des Supremums liegt, aber dass die reelle Zahl selbst nicht rational sein muss. Es ist sogar so, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, dass es also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen gibt, die es erlaubt, jeder natürlichen Zahl eine rationale Zahl zuzuordnen und dabei jede raionale Zahl zu treffen, während die rellen Zahlen überabzählbar sind, was bedeutet, dass dasselbe für reelle Zahlen nicht so möglich ist.
Die komplexen Zahlen
sind wiederum die algebraische Vervollständigung der rellen Zahlen, was bedeutet, dass zu jedem Polynom
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p(X)=\sum_{j=0}^n a_j X^j\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b09506dd29de7c77aae0e1450535ec41_l3.png)
mit
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\bigwedge_{j=0}^n a_j \in {\Bbb R}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-638cb32226ad1af24b9904fe03ab85e1_l3.png)
eine komplexe Zahl
existiert so dass
ist. Man kann sie sich auch mit einem imaginären
vorstellen, für das
gilt und dann sind die komplexen Zahlen
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\Bbb C = \{ x + i y : x, y \in {\Bbb R}\}.\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ecfdf8a9829288ecaa3925cca7ff52c_l3.png)
Mindestens unter den Elektrotechnikern, Physikern und Mathematikern sind die komplexen Zahlen recht vertraut.
Etwas weniger bekannt sind die algebraischen Zahlen
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\Bbb A} = \{ z \in {\Bbb C}} : \bigvee_{n\in{\Bbb N}} \bigvee_{a_0, a_1,\ldots a_n \in {\Bbb Q}}: p(z) = \sum_{j=0}^n a_j z^j = 0 \},\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8afef2393fc47f29fd7235dd466a4cfe_l3.png)
die wiederum wie die rationalen Zahlen abzählbar sind. Die Quadratwurzel von 2 ist z.B. eine algebraische Zahl, aber keine rationale Zahl.
Dann gibt es aber noch so etwas wie endliche Körper, die man z.B. dadurch erhält, dass man eine Primzahl
zugrundelegt und mit Ganzzahlen rechnet, aber nur die Reste bei Division mit Rest durch
betrachtet. Man nennt das Restklassen, weil Zahlen, die denselben Rest ergeben, nicht unterschieden werden und zusammen eine Restklasse bilden. Diese Körper werden oft mit
oder
bezeichnet.
Wenn man die Vervollständigung durch Grenzwertbildung oder durch topologische Prozesse betrachtet, kann man für eine Primzahl
von den rationalen Zahlen auch auf die
-adischen Zahlen kommen. Als Betragsfunktion nimmt man hier für eine rationale Zahl der Form
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p^n \frac{x}{y}\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58ef5b77b5523e9082a54ff9fc640fa5_l3.png)
mit nicht durch
teilbaren
und
und einem ganzzahligen
so etwas
![Rendered by QuickLaTeX.com \[|p^n \frac{x}{y}|_p = p^{-n}.\]](https://karl.brodowsky.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72ab89d80a38440d71cdc3481425c968_l3.png)
Eine Zahl ist also umso näher an
, wenn sie durch eine hohe Potenz der Primzahl
teilbar ist.
Die Details habe ich hier nur angedeutet, sie stehen in Wikipedia… Das mag hier nur als Denkanregung dienen. Interessant ist übrigens auch die Frage, wie man diese Zahlen in der Informatik in verschiedenen Programmiersprachen ausdrücken kann. Vielleicht kommt dazu einmal etwas in meinem anderen Blog.
Um diejenigen zu beruhigen, denen das hier zu mathematisch war, es werden auch wieder andere Themen kommen, aber diese Blog soll doch auch eine gewisse Themenvielfalt beinhalten… 😉